Montrez que si \(f:[a,b]\to{\Bbb R}\) est continue sur \([a,b]\) et dérivable sur \(]a,b[\), et si \(f(a)=f(b)\), alors $$\exists c\in]a,b[,\quad f^\prime(c)=0$$ (théorème de Rolle)
Continuité \(\to\) existence de min et max global Comme \(f:[a,b]\to{\Bbb R}\) est continue sur \([a,b]\), alors elle admet un maximum global et un minimum global : $$\exists x_0,x_1\in[a,b],\forall x\in[a,b],\quad f(x_0)\leqslant f(x)\leqslant f(x_1)$$
La dérivée d'un extremum global qui n'est pas une borne de l'intervalle est nulle Comme \(x_0\) et \(x_1\) sont des extremums locaux, on a : $$\begin{align} x_0\in]a,b[&\implies f^\prime(x_0)=0\\ x_1\in]a,b[&\implies f^\prime(x_1)=0\end{align}$$
\(x_0,x_1\in\{a,b\}\implies f(x_0)=f(x_1)\) d'après la troisième condition du théorème
Alors \(f\) est constante sur \([a,b]\) et \(\forall x\in]a,b[,f^\prime(x)=0\)
(Continuité , Minimum global , Maximum global , Extremum global , Fonction constante )